Parabole et chaînettes, deux courbes qui structurent l’architecture des ponts, des voûtes et des arches

Pour imaginer la forme des voûtes et des colonnes de son grand œuvre, la Sagrada Familia, à Barcelone, l’architecte espagnol Antoni Gaudí a mis au point une méthode pour le moins étonnante. Il a confectionné un modèle renversé de l’édifice au moyen de fils entrelacés et lestés de petits sacs. Quelle idée saugrenue ! Comment la forme d’équilibre de ce dispositif peut-elle inspirer une architecture ? La physique nous permet d’élucider ce mystère.

Pour concevoir un ouvrage d’art ou un bâtiment, l’architecte doit s’interroger sur les types d’efforts auxquels les matériaux de construction seront soumis et comment ils réagiront. Il n’a que l’embarras du choix entre la traction, la compression, la flexion, le cisaillement et la torsion. Si l’acier subit assez bien tous ces types de contraintes, ce n’est pas le cas de la pierre qui ne résiste bien qu’à la compression. Pour construire en pierre, il importe donc que les efforts soient uniquement (au moins essentiellement) des efforts de ce type.

C’est aisé pour un mur de pierres empilées, mais dès que l’on cherche à y ménager une porte ou une fenêtre, ou bien à fabriquer un pont ou un toit, cela se complique. Une solution commode est d’utiliser un autre matériau, le bois par exemple, qui résiste mieux à la flexion. Ainsi, pour les petites ouvertures, une poutre suffit pour un linteau qui porte le poids du mur au-dessus de l’ouverture.

Pour des portées plus grandes, des charpentes plus complexes sont indispensables. Mais la taille ou la résistance aux efforts restent nécessairement limitées. Qu’en est-il pour les grands ouvrages ? La solution est sous nos yeux : il faut prévoir des arches ou des voûtes. Mais quelle forme leur donner pour s’assurer que le matériau qui les constitue travaille en compression ? La physique offre une solution élégante : renverser le problème et s’intéresser aux structures composées de fils, câbles ou cordes.

La balade des suspendus

L’idée est qu’en architecture, l’origine de toutes les contraintes provient du poids des matériaux, toujours dirigé selon la verticale vers le bas. Si, par la pensée, nous inversons la direction de la gravité en conservant la géométrie de la structure – en supposant bien sûr qu’elle garde sa cohésion – tous les efforts internes sont renversés et en particulier les compressions vont devenir des tractions et vice versa. Or les fils, câbles ou ficelles, s’ils sont tendus, ont la propriété de ne travailler qu’en tension c’est-à-dire en traction !

Alors que les deux types de courbes sont assez proches, une chaînette (en bleu) se distingue d’une parabole (en rouge, les deux courbes ont ici la même longueur) en ce que la première distribue uniformément le poids qu’elle supporte. Lorsque le poids est réparti uniformément sur toute la longueur de la chaînette, cela correspond à des masses identiques réparties de façon équidistante le long du câble. Avec une parabole, la répartition uniforme du poids se fait selon la direction horizontale (l’axe des abscisses). Avec des arches adoptant ces formes et ces répartitions de masse, les efforts dans le matériau relèvent uniquement de la compression, gage de stabilité.

© Bruno Vacaro

Le tour est joué, car contrairement aux structures en compression pour lesquelles il faut définir à l’avance la forme pour éviter qu’elles ne s’effondrent, dans une structure suspendue souple, c’est l’action des forces, en l’occurrence le poids et la tension des câbles, qui détermine la forme d’équilibre. Il suffit donc de suspendre et d’observer le résultat, inspiration géniale qu’a eue Gaudí à la fin du XIX^e siècle.

Étudions la forme d’un fil lesté par des poids et que l’on maintient à ses extrémités. On peut envisager deux configurations typiques : celle d’une chaîne composée de maillons identiques qui pend sous son propre poids et celle du pont suspendu dont le câble principal, le câble porteur, soutient le tablier et supporte donc son poids. Les deux courbes obtenues sont connues des mathématiciens.

Commençons par le pont suspendu. Les suspentes, c’est-à-dire les câbles verticaux qui relient le tablier au câble porteur, sont régulièrement espacées et le poids soutenu par chacune d’elles est le même. Pour simplifier, considérons que la masse du câble porteur est négligeable devant celle du tablier.

Un segment de ce câble, outre les forces de tension exercées par les parties situées de part et d’autre, subit de l’ensemble des suspentes qui lui sont attachées une force verticale égale au poids de la section de tablier qui se trouve sous lui. Les forces de tension sont chacune dirigées selon la tangente au câble à l’endroit où elles s’exercent. Seules ces deux forces ont une composante horizontale. Le câble étant immobile, on en déduit que leurs composantes horizontales se compensent, et ce, quels que soient le segment considéré et sa longueur. Elles conservent donc la même intensité tout au long du câble et c’est cette même force qui est exercée par les pylônes aux extrémités du câble porteur.

Allongeons maintenant le câble d’un côté, vers la droite par exemple. Le poids soutenu augmente proportionnellement à la longueur de tablier supplémentaire à soutenir. On en déduit que la composante verticale augmente de la même quantité. Cette composante varie donc de façon linéaire avec l’abscisse du point considéré le long du câble. Or le rapport entre la composante verticale et la composante horizontale n’est autre que la pente de la courbe prise par le câble porteur en chaque point du câble. Cette courbe, dont la pente varie linéairement avec l’abscisse est tout simplement une parabole ! Ce que confirme l’observation de ponts suspendus .

La structure du viaduc de Garabit, dans le Cantal, conçu par Eiffel, ou celle du pont de Sidney, en Australie, exploite la parabole afin que les matériaux ne subissent que des contraintes de compression. C’est d’une façon générale le principe des ponts suspendus dans lesquels le câble porteur ne subit que des contraintes de tension et adopte aussi une forme de parabole.

© Bruno Vacaro

Le miroir de cette situation fournit immédiatement la forme optimale des arcs de pont, que le tablier soit porté par les suspentes reliées à un arc situé au-dessus du pont ou maintenu par des poutres verticales reposant sur un arc situé en dessous. Avec cette forme parabolique, celle qu’a choisie Gustave Eiffel pour le viaduc de Garabit, nous sommes assurés que le matériau de l’arc subit exclusivement des contraintes de compression.

Nous tirons de cette analyse une seconde leçon. En plus de la composante verticale correspondant au poids soutenu, la force exercée par le câble porteur à ses extrémités a une composante horizontale qui tire ses points d’attache vers le centre. Cela signifie que les arcs ou dômes exercent à leur base une force dirigée vers l’extérieur. Aussi a-t-on ajouté dans les églises et les cathédrales des arcs-boutants pour éviter que les murs qui soutiennent les voûtes ne basculent vers l’extérieur.

Parabole ou exponentielle ?

La situation de la chaîne qui pend sous son propre poids est différente. En effet, la masse à soutenir est proportionnelle à la longueur de la chaîne et non plus à la distance horizontale couverte. La courbe obtenue est décrite par la fonction mathématique « cosinus hyperbolique » et est couramment nommée « chaînette ». Cette fonction étant la somme d’une exponentielle croissante et d’une autre décroissante, son comportement est très différent de celui d’une parabole, car elle croît beaucoup plus vite.

Si l’on considère un câble porteur tendu entre deux pylônes, on a vu que la répartition de la masse conduisait à une parabole. En allongeant la longueur du câble tout en conservant l’écartement, la nouvelle forme est toujours une parabole obtenue par une dilatation verticale de la première. À l’inverse, dans la configuration de la chaînette, à partir d’une certaine longueur, la courbe au voisinage du creux ne change pratiquement pas et l’ajout de longueur ne fait qu’allonger les côtés qui pendent presque verticalement. Mais si l’on s’intéresse à des câbles dont la longueur est supérieure à la distance entre les points de suspensions, tout en restant comparable, la différence visuelle entre la chaînette et la parabole est peu perceptible.

En pratique quelle forme est utilisée ? Tout dépend de ce que l’on considère. D’un point de vue théorique, en 1638 Galilée publie son intuition géométrique que la forme des arches est la parabole. Peu après, après une analyse physique des forces, Robert Hooke comprend en 1675 que « la forme d’une chaîne souple suspendue est, une fois renversée, celle d’une arche rigide en équilibre. » Par la suite, quand bien même on sait que l’analyse physique conduit à la chaînette, avant les ordinateurs, la parabole domine dans les ouvrages des ingénieurs, les calculs simplifiés et les ponts à charge régulière.

D’abord, cette courbe était bien plus facile à tracer et à modéliser par le calcul que la chaînette. Ensuite, comme la parabole n’est pas la forme optimale, il est nécessaire d’utiliser des matériaux plus épais pour résister aux contraintes résiduelles de flexion ou de cisaillement. La conséquence est que, finalement, la structure en chaînette est plus fragile et sensible aux imperfections lors de la réalisation, alors que la parabole est plus robuste ! Et de fait, jusqu’à l’avènement de la modélisation numérique, l’approche des constructeurs était essentiellement empirique.

Trouve-t-on néanmoins des chaînettes en architecture ? L’exemple emblématique est la Gateway Arch, à Saint Louis, dans le Missouri, une arche en acier de 192 mètres de hauteur et d’une portée de même dimension. Malheureusement, pour des raisons techniques et esthétiques, la section de cette arche n’est pas uniforme. À la base, le côté de la section en forme de triangle équilatéral mesure 16,50 mètres mais il est de seulement 5,20 mètres au sommet. La forme, déterminée pour avoir uniquement des efforts de compression n’est donc pas une chaînette ! Nous avons toutefois la Catène du port du Havre, constituée de deux chaînettes composées de conteneurs vides.

Surtout, il reste les œuvres de Gaudí. Avec d’abord, la Casa Milà, dont les combles sont une succession d’arcs caténaires en briques. Puis la crypte de la Colònia Güell et la Sagrada Familia, dont les formes ont été obtenues en suspendant des chaînes qui simulaient la masse répartie sur la longueur des murs et colonnes, et des fils soutenant des sacs lestés qui simulaient la masse des éléments d’architectures portés par les tours ou les voûtes. Le résultat est un chef-d’œuvre qui contient à la fois des formes courbes et des tours aux parois inclinées sans arcs-boutants.